admin设向量组T的部分向量组 满足
(i) 线性无关；
(ii)T中向量均可由 线性表示 。或T中任一向量 线性相关 。则称 是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性；2.极大性 。
注：
1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身；
2.向量组与其极大无关组等价；
3.同一个向量组的极大无关组不惟一 ，但它们之间是等价的 。
例1：求向量组的极大无关组
解：
线性相关。
但 线性无关 ， 是一个极大无关组；
也线性无关， 也是一个极大无关组；
任两个都是极大无关组 。
极大无关组是不惟一的 ，所含个数是否相同？
定理1：设有两个n维向量
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组（Ⅰ）线性无关 ，且可由向量组（Ⅱ）线性表示，则
证：设
可由 线性表示 ，即 ,后面的乘以 再加到 这行即化零了 ，其他行同理 。
推论1：若向量组 可由向量组 线性表示，且r>s ，则向量 线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等 。
证明：
①
②
使用定理1证明 ，第①组向量线性无关，且可由第②组向量线性表示，所以 。反过来 ，第②组向量线性无关 ，且可由第①组向量线性表示，所以 。综上 ， 。
一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等 。
向量组 的极大无关组所含向量的个数 ，称为向量组的秩，记为 .
注：
（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数 。
（2）向量组线性无关 秩=向量个数。
定理3：若 可由 线性表示 ，则
证明：
不妨设 的极大无关组为
设 的极大无关组为
可由 线性表示 ，而 可由 线性表示，而 可由 线性表示 ，所以 可由 线性表示 ，所以
复习:
[ 设有两个n维向量组
若向量组(1)中每个向量都可由向量组(2)线性表示，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表示；若向量组(1)与向量组(2)可以互相线性表示 ，则称向量组(1)与向量组(2)等价 。 ]
推论：等价的向量组有相同的秩 。
必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。
矩阵等价 矩阵的秩相同,但是向量组不一样 ，等价可推出等秩，但等秩推不出等价 。
但是 与 不等价 。
向量组的等秩加上什么条件才会等价
例2：设向量组 可由向量组 线性表示，求
解：两个向量组等价 等秩 ，向量组 是线性无关的 ， ，所以
例3：设有两个n维向量组 与 ，若 线性无关且
证明：若 ,则 线性无关。
解：由题 的向量组等于 的向量组乘以另一个向量组 ，所以 可由 线性表示 。 ， 可由 表示 。 与 等价。等价向量组有相同的秩 ， 的向量组线性无关 ，秩为s,则 的向量组的秩也为s 。所以 线性无关 。
评论列表（3条）
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文章不错《【n维向量】29、向量组的极大无关组与秩的定义》内容很有帮助